Problema de Selectividad de Física de Andalucía: Cálculo del Campo Eléctrico y Trabajo

 Enunciado:

Dos cargas de 2 y -3 mili culombios se encuentran en los puntos A (0,0) y B (1,1), respectivamente. Se pide calcular el vector campo eléctrico en el punto C (1,0) y el trabajo necesario para trasladar una carga de un mili culombio desde el punto C al punto D (0,1).

Introducción Teórica:

El campo eléctrico es una magnitud vectorial que describe la fuerza que experimenta una carga puntual en presencia de otras cargas. Se calcula mediante la siguiente fórmula:

$E = \frac{kq}{r^2}$

Donde:

• E es el vector campo eléctrico (en N/C)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• q es la carga que genera el campo (en C)
• r es la distancia entre la carga y el punto donde se calcula el campo (en m)

El trabajo realizado para mover una carga en un campo eléctrico se calcula mediante la siguiente fórmula:

W=ΔU=Uf​−Ui​

Donde:

• W es el trabajo (en J)
• ΔU es la variación de energía potencial (en J)
• Uf​ es la energía potencial final (en J)
• Ui​ es la energía potencial inicial (en J)

La energía potencial de una carga puntual en un campo eléctrico se calcula mediante la siguiente fórmula:

$U = \frac{kq}{r}$

Donde:

• U es la energía potencial (en J)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• q es la carga (en C)
• r es la distancia entre la carga y el punto donde se calcula la energía potencial (en m)

Solución:

1. Cálculo del vector campo eléctrico en el punto C:

El vector campo eléctrico en el punto C es la suma vectorial de los campos eléctricos generados por las cargas en A y B.

Campo eléctrico generado por la carga en A:

$E_A = \frac{kq_A}{r_A^2}$

Donde:

• EA​ es el vector campo eléctrico generado por la carga en A (en N/C)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• qA​ es la carga en A (2 x 10^-3 C)
• rA​ es la distancia entre la carga en A y el punto C (en m)

$\overrightarrow{E_A} = \frac{ \left( 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2 \right) \left( 2 \times 10^{-3} \text{ C} \right) } {1 \text{ m}} = 1.8 \times 10^7 \text{ N/C} \overrightarrow{i}$

Análogamente el campo eléctrico generado por la carga en B:

$\overrightarrow{E_B} = \frac{ \left( 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2 \right) \left( 3 \times 10^{-3} \text{ C} \right) } {1 \text{ m}} = 2.7 \times 10^7 \text{ N/C} \overrightarrow{j}$

Vector campo eléctrico en el punto C: 

$\overrightarrow{E_C} = \overrightarrow{E_A} + \overrightarrow{E_B}$

$E_C​=1.8 \times 10^7 \text{ N/C} \overrightarrow{i}+2.7 \times 10^7 \text{ N/C} \overrightarrow{j}$

2. Cálculo del trabajo necesario para trasladar la carga:

El trabajo necesario para trasladar una carga de un mili culombio desde el punto C al punto D es igual a la variación de energía potencial de la carga.

Energía potencial inicial:

La energía potencial inicial de la carga en el punto C es la suma de las energías potenciales generadas por las cargas en A y B.

$U_i = U_{AC} + U_{BC}$

Donde:

• Ui​ es la energía potencial inicial (en J)
• UAC​​ es la energía potencial generada por la carga en A en el punto C (en J)
• UBC​​ es la energía potencial generada por la carga en B en el punto C (en J)

$U_{AC} = \frac{kq_A q_C}{r_{AC}}$

Donde:

• UAC​​ es la energía potencial generada por la carga en A en el punto C (en J)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• qA​ es la carga en A (2 x 10^-3 C)
• rAC​ es la distancia entre la carga en A y el punto C (en m)
• qC e la carca de 1mC situada en C

$U_{AC} = \frac{\left( 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2 \right) \left( 2 \times 10^{-3} \text{ C}  \right) \left( 1 \times 10^{-3} \text{ C}  \right) } {1 \text{ m}} = 1.8 \times 10^4 \text{ J}$

$U_{BC} = \frac{kq_B q_C}{r_{BC}}$​

Donde:

• UBC​​ es la energía potencial generada por la carga en B en el punto C (en J)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• qB​ es la carga en B (-3 x 10^-3 C)
• rBC​ es la distancia entre la carga en B y el punto C (en m)
• qC e la carca de 1mC situada en C

$U_{BC} = \frac{\left( 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2 \right) \left( -3 \times 10^{-3} \text{ C}  \right) \left( 1 \times 10^{-3} \text{ C}  \right) } {1 \text{ m}} = -2.7 \times 10^4 \text{ J}$

$U_i = U_{AC} + U_{BC} = 1.8 \times 10^4  \text{ J} -  2.7 \times 10^4 \text{ J} = -9\times 10^3 \text{ J}$

Energía potencial final:

La energía potencial final de la carga en el punto D es la suma de las energías potenciales generadas por las cargas en A y B.

Uf​=UAD​​+UBD​​

Donde:

• Uf​ es la energía potencial final (en J)
• UAD​​ es la energía potencial generada por la carga en A en el punto D (en J)
• UBD​​ es la energía potencial generada por la carga en B en el punto D (en J)

UAD​​=rAD​kqA​​

Donde:

• UAD​​ es la energía potencial generada por la carga en A en el punto D (en J)
• k es la constante de Coulomb (9 x 10^9 N m^2/C^2)
• qA​ es la carga en A (2 x 10^-3 C)
• rAD​ es la distancia entre la carga en A y el punto D (en m)

rAD​=(0−1)2+(1−0)2​=2​ m

$$U_{A_D} = \frac{(9 x 10^9\text{ N m}^2/\text{C}^2)(2 x 10^-3\text{ C})}{(\sqrt{2}\text{ m})^2} =

$$V_B = \frac{kq_B}{r_B} = \frac{9 \times 10^9 \text{ N·m}^2/\text{C}^2 \cdot -3 \times 10^{-3} \text{ C}}{1 \text{ m}} = -27 \text{ V}$$