Dos cargas. Potencial eléctrico.

Enunciado del Problema

Dos partículas idénticas con carga positiva están situadas en los puntos A(0,0) y B(2,0). Generan un potencial eléctrico en el punto C(1,1) de 1000 V. Determine:

1. El valor de la carga de las partículas.
2. El vector campo eléctrico en el punto C(1,1).

Fórmulas Usadas

1. Potencial Eléctrico de una Carga Puntual:

$V = \frac{k \cdot q}{r}$

2. Distancia entre Puntos en un Plano:

$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3. Superposición de Potenciales:

$V_{\text{total}} = V_1 + V_2$

4. Campo Eléctrico de una Carga Puntual:

$E = \frac{k \cdot q}{r^2}$

Resolución

1. Determinación del Valor de la Carga

Dado:

• Potencial en el punto C(1,1): $V_C = 1000 \, \text{V}$
• Constante de Coulomb: $k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$

Distancias:

• Del punto A(0,0) al punto C(1,1):

$r_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$

• Del punto B(2,0) al punto C(1,1):

$r_2 = \sqrt{(1-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$

Cálculo del Potencial Total:

$V_C = V_1 + V_2 = \frac{k \cdot q}{r_1} + \frac{k \cdot q}{r_2}$

$1000 = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot q}{\sqrt{2}} + \frac{8.99 \times 10^9 \cdot q}{\sqrt{2}}$

$1000 = 2 \cdot \frac{8.99 \times 10^9 \cdot q}{\sqrt{2}}$

$q = \frac{1000 \sqrt{2}}{2 \cdot 8.99 \times 10^9}$

$q = \frac{1000 \sqrt{2}}{17.98 \times 10^9}$

$q \approx 7.86 \times 10^{-8} \, \text{C}$

2. Determinación del Vector Campo Eléctrico en C(1,1)

Campo Eléctrico de Cada Carga:

$E = \frac{k \cdot q}{r^2}$

$E = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot 7.86 \times 10^{-8}}{2}$

$E \approx 3536 \, \text{N/C}$

Componentes del Campo Eléctrico:

• La dirección del campo eléctrico debido a cada carga es hacia fuera de la carga.

$E_{x} = E \cos(45^\circ)$

$E_{y} = E \sin(45^\circ)$

Componente Total del Campo Eléctrico:

Debido a la simetría y las cargas idénticas, los componentes en x se cancelan, y los componentes en y se suman:

$E_{y} = 2 \cdot 3536 \cdot \sin(45^\circ)$

$E_{y} = 2 \cdot 3536 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$E_{y} \approx 5000 \, \text{N/C}$

Resultados

1. El valor de la carga de las partículas es $q \approx 7.86 \times 10^{-8} \, \text{C}$.
2. El vector campo eléctrico en el puntoC(1,1) es $\vec{E} = 5000 \, \text{N/C} \, \hat{j}$.