Andalucía, 2022, Examen de junio, Ejercicio B1, Apartado B
Enunciado: Dos partículas idénticas con carga positiva situadas en los puntos A(0,0) y B(2,0) generan un potencial eléctrico en el punto C(1,1) de 1000 V. Determine:
- El valor de la carga de las partículas.
- El vector campo eléctrico en el punto C(1,1).
Resolución
1. Valor de la carga de las partículas
La fórmula del potencial eléctrico es:
$ V = \frac{KQ}{r} $
Donde:
- $K$ es la constante de Coulomb, $K = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2$
- $Q$ es la carga
- $r$ es la distancia entre la carga y el punto donde se mide el potencial
El potencial en el punto C debido a las dos cargas es la suma de los potenciales generados por cada una de las cargas:
$ V_C = V_A + V_B = \frac{KQ}{r_1} + \frac{KQ}{r_2} $
Como $r_1 = r_2$, podemos simplificar a:
$ V_C = KQ \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) = \frac{2KQ}{r} $
La distancia $r$ desde cada carga al punto C se calcula usando el teorema de Pitágoras:
$ r = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} $
Sustituyendo los valores:
$ 1000 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times Q}{\sqrt{2}} $
Despejando $Q$:
$ Q = \frac{1000 \times \sqrt{2}}{2 \times 9 \times 10^9} $
$ Q = 7.86 \times 10^{-8} \, \text{C} $
2. Vector campo eléctrico en el punto C(1,1)
La fórmula del campo eléctrico es:
$ E = \frac{KQ}{r^2} $
La distancia $r$ ya calculada es $ \sqrt{2} $.
El campo eléctrico debido a una carga en el punto A en C es:
$ E_A = \frac{KQ}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 7.86 \times 10^{-8}}{2} $
$ E_A = 353,7 \, \text{N/C} $
El campo eléctrico debido a la otra carga en el punto B en C es el mismo por simetría:
$ E_B = 353,7 \, \text{N/C} $
Como los campos tienen la misma magnitud y están en ángulo de 45 grados, las componentes en x se anulan y las componentes en y se suman:
Componente en y de $E_A$:
$ E_{Ay} = E_A \sin(45^\circ) = 353,7 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 250 \, \text{N/C} $
El campo eléctrico total en y es:
$ E_y = 2 \times 250 = 500 \, \text{N/C} $
Por lo tanto, el vector campo eléctrico total en C es:
$ \vec{E} = 500 \, \text{N/C} \, \hat{j} $
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