Campo eléctrico, dos partículas idénticas.

Andalucía, 2022, Examen de junio, Ejercicio B1, Apartado B

Enunciado: Dos partículas idénticas con carga positiva situadas en los puntos A(0,0) y B(2,0) generan un potencial eléctrico en el punto C(1,1) de 1000 V. Determine:

1. El valor de la carga de las partículas.
2. El vector campo eléctrico en el punto C(1,1).

Resolución

1. Valor de la carga de las partículas

La fórmula del potencial eléctrico es:

$V = \frac{KQ}{r}$

Donde:

• $K$ es la constante de Coulomb, $K = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2$
• $Q$ es la carga
• $r$ es la distancia entre la carga y el punto donde se mide el potencial

El potencial en el punto C debido a las dos cargas es la suma de los potenciales generados por cada una de las cargas:

$V_C = V_A + V_B = \frac{KQ}{r_1} + \frac{KQ}{r_2}$

Como $r_1 = r_2$, podemos simplificar a:

$V_C = KQ \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) = \frac{2KQ}{r}$

La distancia $r$ desde cada carga al punto C se calcula usando el teorema de Pitágoras:

$r = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$

Sustituyendo los valores:

$1000 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times Q}{\sqrt{2}}$

Despejando $Q$:

$Q = \frac{1000 \times \sqrt{2}}{2 \times 9 \times 10^9}$

$Q = 7.86 \times 10^{-8} \, \text{C}$

2. Vector campo eléctrico en el punto C(1,1)

La fórmula del campo eléctrico es:

$E = \frac{KQ}{r^2}$

La distancia $r$ ya calculada es $\sqrt{2}$.

El campo eléctrico debido a una carga en el punto A en C es:

$E_A = \frac{KQ}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 7.86 \times 10^{-8}}{2}$

$E_A = 353,7 \, \text{N/C}$

El campo eléctrico debido a la otra carga en el punto B en C es el mismo por simetría:

$E_B = 353,7 \, \text{N/C}$

Como los campos tienen la misma magnitud y están en ángulo de 45 grados, las componentes en x se anulan y las componentes en y se suman:

Componente en y de $E_A$:

$E_{Ay} = E_A \sin(45^\circ) = 353,7 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 250 \, \text{N/C}$

El campo eléctrico total en y es:

$E_y = 2 \times 250 = 500 \, \text{N/C}$

Por lo tanto, el vector campo eléctrico total en C es:

$\vec{E} = 500 \, \text{N/C} \, \hat{j}$

Referencias

• Campo eléctrico
• Potencial eléctrico
• Constante de Coulomb